量子态可分性——PPT和纠缠目击

本文主要是如下文献中第 VI 节的学习笔记:

  • Horodecki, R., Horodecki, P., Horodecki, M., & Horodecki, K. (2009). Quantum entanglement. Reviews of modern physics, 81(2), 865.

PPT 判据

定义

量子纠缠中一个很重要的问题即为一个量子态是否可以拆分成各个子系统的直积,如果可以则为可分态,否则就是纠缠态。而 positive partial transpose (PPT) criterion 即为一个方法。我们来简单描述一下:

对于一个量子态的密度矩阵 $\varrho_{AB}$,如果其为可分态的话,则有:

$$ \left\langle m \left| \left\langle \mu \left| \varrho _ { A B } ^ { T _ { B } } \right| n \right\rangle \right| \nu \right\rangle \equiv \left\langle m \left| \left\langle \nu \left| \varrho _ { A B } \right| n \right\rangle \right| \mu \right\rangle $$

其中 $\varrho_{AB}^{T_B}$ 为 $\varrho_{AB}$ 的偏转置,设 $P=|e,f\rangle\langle e,f|$,其偏转置的为$P^{T_B}=|e,f^*\rangle\langle e,f^*|$。

并且,$|m\rangle, |n\rangle, |\mu\rangle, |\nu\rangle$ 为四个固定的基向量。

原理

现在的问题在于,我们应该如何来应用上述定理来解决实际问题?我们回顾一下,如果密度矩阵 $\rho_{AB}$ 可以是可分的,则

$$\rho = \Sigma_{A} w_A \rho_A^{\prime} \otimes \rho_A^{\prime\prime}$$

而如果我们仅对第一个粒子的密度矩阵进行转置,即 $T_A \otimes I_B$,就会得到:

$$\sigma = \Sigma_{A} w_A (\rho_A^{\prime})^T \otimes \rho_A^{\prime\prime}$$

而我们又知道,一个合法的密度矩阵的各个特征值都应当为非值,因而上式中的特征值也都应该都为非负的。事实上,密度矩阵是厄米矩阵,因此满足 $\rho \rho^{*}=I$,因此有 $(\rho^{\prime}_A)^T = (\rho^{\prime}_A)^+$,这时,交换右上和左下的两个分块矩阵并不会影响最终的特征值的正负。(这里共轭用 $+$ 表示,厄米共轭用$*$表示)

那我们来看看如果一个量子态不可分,会满足什么样的性质呢?我们举个例子来看看:

可以看出,右上和左下的两个分块矩阵是不一样的,即使他们对称,也不能满足在转置之后得到与之前一样的矩阵,这样的一个转置,是不能用酉矩阵表示的。

证明

现在,我们从更为一般的情况下来分析这个问题。先来看看充分性。组成直积态 $\rho$ 的两个密度矩阵 $\rho_A, \rho_B$,它们各自是合法的密度矩阵,因此它们满足厄米共轭,并且各自的特征值都满足大于等于 $0$,这是我们知道的。因此乘起来之后的分块矩阵如下所示:

由于共轭,因此 $a_{12}=a_{21}^*$,因此上述两个分块矩阵2和3里的各个对应元素应该是相互共轭(而非共轭转置)的。并且这个 $\rho$ 矩阵也必然是合法的密度矩阵,因此其并且其偏转置也应当等于满足上述条件,因为:

可以看出,因为$\rho$是一个厄米矩阵,而$\rho^{T_A}$ 也是一个厄米矩阵,因此我们可以证明从$\rho_A\rho_B$ 到 $\rho_A^T\rho_B$ 的 $T_A \otimes I_B$ 变换是一个酉变换

因此既然这是酉变换,那就是一个合法的量子态的变换,因此,$\rho_A^T\rho_B$ 中就不可能出现特征值为负的量子态。因此,只要出现了负的特征值,就不可能为合法的变换,因此量子态必然不可能为可分的。因此我们总结一下充分性的证明过程:

因此:

PPT 在如下文献中被证明是量子态可分的充分必要条件:

  • Horodecki, M. (1996). P. Horodecki und R. Horodecki. Separability of mixed states: Necessary and sufficient conditions.

关于 PPT 判据更多信息见文献:

  • Asher Peres. Separability Criterion for Density Matrices. Phys. Rev. Lett. 77, 1413.

接下来我们来讲讲里面的案例。

一个例子

假设一个两粒子混合态由如下三个纯态构成:

  1. $x$ 的概率为 $a|01\rangle+b|10\rangle$。
  2. $(1-x)/2$ 的概率为 $|00\rangle$。
  3. $(1-x)/2$ 的概率为 $|11\rangle$

因此密度矩阵可以写为:

$$\rho = x(a|01\rangle+b|10\rangle)(a\langle 01|+b\langle10|)$$

$$+\frac{1-x}{2}(|00\rangle\langle00|+|11\rangle\langle11|)$$

上面这个矩阵写出来是:

根据 PPT 判据,我们对 $\rho$ 中第一个例子进行转置,实际上就是对上面这个矩阵的 $2 \times 2$ 分块矩阵进行转置,即得到 $\sigma$ 矩阵:

给出其特征方程:

$(a^2x-\lambda)(b^2x-\lambda)[(\frac{1-x}{2}-\lambda)^2 – (abx)^2] = 0$

因此 $\lambda$ 有三个解:

  1. $\lambda=a^2x, \lambda=b^2x$,因此 $x>0$,则 $\lambda>0$。
  2. $\lambda = \frac{1}{2}-x(\frac{1}{2}\pm ab)$,因此 $x < \frac{1}{1+2ab}$,则$\lambda>0$。

因此,我们可以很容易根据 $x, \lambda$ 的取值,确定纠缠的分界线。

与 Bell 不等式的比较

对于上面的例子,我们是否可以用 Bell 不等式进行纠缠的判定呢?这里的内容依据下面的论文:

  • Gisin, N. (1996). Hidden quantum nonlocality revealed by local filters. Physics Letters A, 210(3), 151-156.
  • Horodecki, R., Horodecki, P., & Horodecki, M. (1995). Violating Bell inequality by mixed spin-12 states: necessary and sufficient condition. Physics Letters A, 200(5), 340-344.

前面我们求出了,使用 PPT 判据,得到有纠缠的 $x$ 的范围为

$$x > \frac{1}{1 + 2ab}$$

而使用 CHSH 不等式,得到的范围为:

$$x > \frac{1}{1+2ab(\sqrt{2}-1)}$$

使用 PPT 比使用 CHSH 得到有纠缠的范围更大一些,因此可以知道,PPT 判据更强一些。

纠缠目击

纠缠目击也是用来判定量子态的可分性的工具。它的定义非常简单:

对于一个密度算符 $\rho$ 而言,如果存在一个厄米算符 $H$ 满足 $Tr(H\rho) < 0$ 但对于全体可分态 $\sigma$ 都满足 $Tr(H\sigma) \ge 0$,则 $H$ 是一个纠缠目击,并且密度算符 $\rho$ 不可分。

从物理的角度来看这个问题,$H$ 实际上是一个可以展现纠缠的可观测量,即纠缠目击。对于任意的纠缠态,都存在一个纠缠目击。如下图所示,直线代表一个纠缠目击的 $W$ 的超平面,左侧判定为可分态,右侧判定为纠缠态。

可以看出,纠缠目击实际上是通过量子态在该目击 $W$ 期望值的正负来对量子态的纠缠性进行划分。

因此,对于一个量子态,是否能够找到合适的纠缠目击来检测。如果能够找到,则说明它是纠缠态,否则就不是纠缠态。现在关键的问题在于,我们应当如何来构造这样的纠缠目击呢?

$\mathcal{H}_2\otimes\mathcal{H}_2$例子

这里我们可以回顾之前 PPT 态的例子,我们知道,如果对于一个量子态 $\rho$,如果对其进行偏转置操作后,其特征值不全为非负,则说明该量子态为纠缠态。我们可以通过这种思路针对 $\mathcal{H}_2\otimes\mathcal{H}_2$ 的量子态来构造纠缠目击。

假设有一个量子态 $\rho$ 的偏转置 $\rho^{T_A}$ 存在负的本征值 $\lambda_-$,对应的本征态为 $|\eta\rangle$,那么我们定义这个量子态的纠缠目击为:

$$W = |\eta\rangle\langle\eta|^{T_A}$$

我们来验算一下:

$$W \rho = |\eta\rangle\langle\eta|^{T_A} \rho$$

因此,其平均值为:

$$\langle\eta|(|\eta\rangle\langle\eta|)^{T_A}\rho|\eta\rangle=\langle\eta|(|\eta\rangle\langle\eta|)\rho^{T_A}|\eta\rangle = \langle \eta|\rho^{T_A}|\eta\rangle = \lambda_-$$

因此,$W$ 对于量子态 $\rho$ 来说可以得到负的期望值。现在为了证明 $W$ 是一个纠缠目击,我们还需要证明 $W$ 对于任意的可分态 $\rho_s$ 会取得非负的期望值:

$$\langle \eta|(|\eta\rangle\langle\eta|)^{T_A}\rho_s|\eta\rangle=\langle \eta|(|\eta\rangle\langle\eta|)\rho_s^{T_A}|\eta\rangle=\langle\eta|\rho_s^{T_A}|\eta\rangle \ge 0$$

上面得到非负值的原因在于 $\rho_s$ 可分,因此其偏转置的特征值也都为非负,因此其平均值不可能小于 $0$。

一般化

我们先给出定义:

如果量子态 $\rho_e$ 是纠缠态,并且可以被正定映射 $\Lambda$ 探测到,即 $I\otimes\Lambda (\rho_e)$ 又负特征值 $\lambda_-$ 以及对应的本征向量 $|\eta\rangle$,那么我们可以定义纠缠目击:

$$W = I\otimes \Lambda^+ (|\eta\rangle\langle\eta|)$$

其中 $\Lambda^+$ 为伴随矩阵。这里首先解释一下正定映射 $\Lambda$,它满足将特征值都为正的算子映射到特征值都为正的算子。

而在上面的例子中,$\Lambda$ 表示的是转置算子。

更复杂的情况

对于上面的例子而言,我们处理的是 $\mathcal{H}_2 \otimes \mathca{H}_2$ 的情况,这是最为简单的情况,并且我们其实很大程度上是利用 PPT 判据来构造的纠缠目击。那么纠缠目击与 PPT 到底有什么优越性呢?

之前的 PPT 判据实际上我们是必须给出量子态的密度矩阵,才能做偏转置的操作。但是对于纠缠目击而言,我们无需得到量子态的密度矩阵,因为我们构造的实际上是一个可观测量 $W$,因而我们可以直接观测。虽然我们这里仍然使用了 PPT 判据的一些方法来构造,但实际上构造纠缠目击的方法非常多,这里就不一一学习,它们可以作为以后的材料。

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