Connector tensor network (四)

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已经对 Connector 的基础知识进行了简单的介绍,下面我们使用 connector tensor network 来进行一些实际的应用。

一个简单的例子

我们来考虑一个使用 CTN 进行非局域性检测的案例。如下图说是,我们需要 $m$ 个处于最大纠缠态的量子态 $|\phi \rangle$,并且定义量子态为:

$$|\phi\rangle = (e^{\frac{i\pi \sigma_y }{8}}\otimes I_2)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0,0\rangle+|1,1\rangle)$$

并且我们按照下图所示的方式进行随机的酉操作,这种形成量子要我们叫做“有限关联态”。随后我们对每个粒子进行泡利测量 (Pauli Measurement),因此这样的“态+测量操作”就可以看作一个 non-signalling box $P$。对于这个盒子中的每一个 site (指的是位置,即一个$U$变换作用的那两个粒子,下图中紫色区域),我们可以输入3种测量基,即三种泡利算符 $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$,由于粒子是 spin-$\frac{1}{2}$ 系统,因此输出结果只有两个 0 或 1,因此这即 3 输入 2 输出。

基本思想

我们来考虑其中的一个盒子,用 $P^{\prime}$ 表示,即为一对纠缠对 $|\phi\rangle$,我们以四个 $P^{\prime}$ 的情况为例,如下所示:

现在我们的思路是,通过一个变换使得:

$$P=(V_{2,3}^{1} \otimes V_{4,5}^{2} \otimes V_{6,7}^{3} \otimes V_{8,1}^{4})(P^{\prime})^{\otimes 3}$$

即通过变换 $V$ 可以从 $(P^{\prime})^{\otimes 4}$ 得到 $P$,然后如果我们知道 $P^{\prime}$ 的违背贝尔不等式的情况,那么我们就可以通过一些方式知道 $P$ 是否也有违背贝尔不等式。这里的关键问题在于操作 $V$,如果操作 $V$ 是经典映射,即 经典 $\rightarrow$ 经典 的映射的话,才能保证 $P^{\prime}$ 和 $P$ 有相通的局域性。即:

其实上面的方法,就是把一个量子态 $P$ 通过 $V^{-1}$ 转换成 $P^{\prime}$,然后再使用之前定义的 $\mathcal{C}^{\prime}$ 以及 $E-\mathcal{C}^{\prime\prime}$ 进行贝尔不等式的测量。上面说了,$V^{-1}$ 不一定是局域的,因此我们现在定义 $2 \rightarrow 2$ 的 Connector 即 $W^{1}$,其效果与 $V^{-1}$ 类似,而这里我们使用的方法是 近似

我们首先考虑一个简单的盒子 $Q$,其定义为:

$$Q=(I_1 \otimes V_{23}^{1} \otimes I_4) P^{\prime} \otimes P^{\prime}$$

其中 $P^{\prime}$ 是我们熟知的量子态,我们知道它的 Bell 不等式的违背情况,我们使用 $V_{23}^1$ 将 $P^{\prime}$ 变化为 $P$ 态,即我们需要测量的量子态。但是,由于 $V^{1}_{23}$ 不一定是 connector,因此不能直接这么做,所以我们使用一个盒子 $W_{23}^{1}$ 来进行逼近(使用线性规划),使得变化后输出的结果达到最小:

$$\left\{ \mathcal { C } ^ { \prime \prime } \otimes \left( E – \mathcal { C } ^ { \prime \prime } \right) \right\} \left( \mathbb { I } _ { 1 } \otimes W _ { 23 } ^ { 1 } \otimes \mathbb { I } _ { 4 } \right) Q$$

即等于:

$$\left\{ \mathcal { C } ^ { \prime \prime } \otimes \left( E – \mathcal { C } ^ { \prime \prime } \right) \right\} \left( \mathbb { I } _ { 1 } \otimes W _ { 23 } ^ {1} V _ { 23 } ^ { 1 } \otimes \mathbb { I } _ { 4 } \right) P^{\prime} \otimes P^{\prime}$$

这是什么意思呢?$W_{23}^{1}$ 是一个 connector,不会对局域性造成影响,而 $V_{23}^{1}$ 是一个普通的双量子比特的酉算符,会对局域性产生影响。因此,这里的 $V_{23}^{1}$实际上可以视为上图中的 $U^1 \cdots U^6$,而原本 $|\varphi\rangle$ 即相当于这里的 $P^{\prime}$。由于$|\varphi\rangle$我们知道是最大纠缠态,其贝尔不等式的值很清楚了,不确定的因素都集中在了这个 $U$ 上,所以 $W^1 \cdots W^6$ 即相当于一种对 $U$ 的逆操作(但是没有不对易的操作)的近似,因此使用线性规划的方法即可以求出这些 Connector,从而得到最终的非局域性的测量结果。

这里的思想总结一下,由于我们需要测量的模型是一个任意有变换 $U$ 作用之后的最大纠缠态 $|\varphi\rangle$,由于最大纠缠态的 Bell 不等式的值我们很清楚了,因此我们可以将其作为模板,并通过找到与这个酉变换的逆 $U^{-1}$ 尽可能相近的链接子 $W$ 来使其靠近这个最大纠缠态,可以通过线性规划来实现,因而用这个 $W$ 得到的探测结果即为当前这个盒子 $P$ 的非局域性情况。

这种使用模板进行验证的思想是很好的,即找到目标态与最大纠缠态的区别,而非直接进行测量。

纠缠目击构造链接子

纠缠检测中最为一般和基础的工具即为纠缠目击。因此我们需要使纠缠目击来构造链接子,在博文 https://blog.zelinmeng.com/?p=497 中我们已经介绍了相关的知识。前面我们定义了 LOC-world 映射的概念,即在 LOC-world 中的映射是从经典到经典的映射,不会对量子态引入任何的非局域性。而这里我们需要引入一个新的概念 SEP-world 映射,这样的映射是从可分态到可分态的映射,即不会引入纠缠。文献中也指出了,SEP-world 中的 connector 与 $(m+1)$-partite 的纠缠目击一一对应。

那么到底什么样的映射可以对应一个 $m\rightarrow 1$ 的链接子呢?

首先这个映射 $\Omega$ 的形式应当为:

$$B(\otimes_{i=1}^{m} \mathcal{H}_i) \rightarrow B(\mathcal{H}_{m+1})$$

其中 $B(\cdot)$ 表示某个希尔伯特空间中的线性算子,因为上面的映射即表示了一个从 $m$ 个粒子的空间到 $1$ 个粒子的空间的线性映射。

同时这个映射 $\Omega$ 应当满足条件有两个:

  • 我们定义一个纠缠目击 $W_{\Omega}$ 应当满足 $\mathrm{Tr}\{W_{\Omega}(\sigma \otimes \beta)\}=\mathrm{Tr}\{\Omega(\sigma)\beta\}$,
  • $\mathbb{I}_{1\cdots m}-\mathrm{Tr}_{m+1}(W_{\Omega})$ 应当为一个 $m$-partite 的纠缠目击。

条件 1 可以如下图解释:

其中 $W$ 是纠缠目击,而 $\Omega_W$ 是其对应的链接子。这里直接给出链接子的构造方法:

$$\Omega_W(\sigma) = \mathrm{Tr}_{1\cdots m}\{(\sigma \otimes \mathbb{I}_{m+1})W\}$$

注意这里求偏迹是对第 $1$ 到第 $m$ 个粒子的部分求偏迹,因此得到的实际上是第 $m+1$ 个粒子的情况,之所以称之为“情况”,是因为即不能说其是密度矩阵,也不能说起是纠缠目击,是在找不到更合适的情况。

上面的定义中,第 $m+1$ 个粒子我们用 $\beta$ 来表示,其与前面的部分 $\sigma$ 是可分的。我们可以看出,其实这是一种粗粒化的过程,即我们本身的目的是要测量 $m$ 个粒子的系统 $\sigma$ 的纠缠性,但是我们通过定义一个链接子,并引入一个新的、与 $\sigma$ 可分的粒子 $\beta$,来将纠缠目击得到的 $\sigma$ 的纠缠信息给予这个 $\beta$ 粒子,着即是第一个条件的愿意,他们之所以可行,是因为迹相等,即 $\mathrm{Tr}(\Omega(\sigma)\beta)=\mathrm{Tr}(W(\sigma \otimes \beta))$,而如果 $\sigma$ 可分,则 $\mathrm{Tr}(\Omega(\sigma)\beta) \ge 0$。

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