Connector tensor network (三)

前面(https://blog.zelinmeng.com/?p=107https://blog.zelinmeng.com/?p=312)我们已经介绍了 CTN (connector tensor network) 的本质,即是一种贝尔不等式。这一次的汇报中,接着学习 CTN 的更多内容,试着来构建一些 Connectors。在本篇笔记中的符号表示将会按照CTN中的标准。

参考文献

[CHSH74] Clauser, J. F., & Horne, M. A. (1974). Experimental consequences of objective local theories. Physical review D, 10(2), 526.

表示 LOC-World 中的 Connectors

根据 GPT的 理论,单位测量表示的是:对一个量子态 $\omega$ 进行单位测量 $E(\omega)$,则如果测量能百分之百得到 $1$,则说明这个态是可靠的 (reliable),否则为不可靠的,并且失败的概率为 $1-E(\omega)$。因此上文中的条件(10),即对于以下映射

$$\bar{v}_{S \otimes T} \rightarrow (W \otimes I_T) \cdot \bar{v}_{S\otimes T}$$

满足:

$$E(W \cdot \bar{v}_{S}) \le E(\bar{v}_{S})$$

代表的含义是,在经过 $W$ 映射之后,其制备态 $\omega$ 失败的概率更大。满足这样的条件有很么意义呢?文中的 III.A 中说明了,满足这样的条件的变换被定义为一个 valid transformation,它的具体意义还不是很明确。

使用 Bell 不等式构建 Connectors

我们现在使用 2-to-1 的 Connector 来构建一个贝尔不等式,这个式子在论文中直接给出了:

$C_{axa^{\prime}x^{\prime}}^{0,0}=\mathcal{C}_{axa^{\prime}x^{\prime}}$

$C_{axa^{\prime}x^{\prime}}^{1,0}=(E-\mathcal{C})_{axa^{\prime}x^{\prime}}$

$C_{axa^{\prime}x^{\prime}}^{0,1}=\mathcal{C}^{\prime}_{axa^{\prime}x^{\prime}}$

$C_{axa^{\prime}x^{\prime}}^{1,1}=(E-\mathcal{C}^{\prime})_{axa^{\prime}x^{\prime}}$

他对应的图像可以如下表示

这里我们需要好好理解,首先解释 $C_{axa^{\prime}x^{\prime}}$ 的含义,他代表一个 connector,即一个变换,其上标的两个数分别表示变换后的输入$y$和输出$b$,而下表则代表变换前的输入$x,x^{\prime}$和输出$a,a^{\prime}$。对于变换后的不同的输入和输出的组合(四种情况),对应了不同的操作:

$\mathcal { C } _ { a x a ^ { \prime } x ^ { \prime } } \equiv – \delta _ { a } ^ { 0 } \delta _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } \left( \delta _ { x } ^ { 0 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 0 } + \delta _ { x } ^ { 1 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 0 } + \delta _ { x } ^ { 0 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 1 } – \delta _ { x } ^ { 1 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 1 } \right) + \delta _ { x } ^ { 0 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 0 } \left( \delta _ { a } ^ { 0 } + \delta _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } \right) $

$\mathcal { C } _ { a x a ^ { \prime } x ^ { \prime } } ^ { \prime } \equiv – \delta _ { a } ^ { 0 } \delta _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } \left( – \delta _ { x } ^ { 0 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 0 } + \delta _ { x } ^ { 1 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 0 } + \delta _ { x } ^ { 0 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 1 } + \delta _ { x } ^ { 1 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 1 } \right) + \delta _ { x } ^ { 1 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 1 } \left( \delta _ { a } ^ { 0 } + \delta _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } \right)$

Delta 算符表示某一项只取某一种情况,例如 $\delta _ { a } ^ { 0 } \delta _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } \delta _ { x } ^ { 0 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 0 }$ 表示的是两个粒子的输入输出都等于$0$的情况。因而上式表示了多情况的组合,考虑到在 CTN 中的情况是,一个变换 $\mathcal{C}$ 实际上就是对一个盒子 $P$ 中的各种情况进行保留或者舍弃。那么上面的式子保留了哪些项又舍弃了哪些项呢?我们使用一些例子来进行说明,比如:

$$|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

回忆 https://blog.zelinmeng.com/?p=153 中的介绍的 Bell 不等式,对两个粒子分别采用了不同的测量基:

我们可以根据广义概率论的方法,见上一篇汇报 https://blog.zelinmeng.com/?p=312,给出盒子 $P$ 的概率分布表:

$x=0$
$x^{\prime}=0$
$x=0$
$x^{\prime}=1$
$x=1$
$x^{\prime}=0$
$x=1$
$x^{\prime}=1$
$a=0$
$a^{\prime}=0$
$0.85$$0.85$$0.85$$0.15$
$a=0$
$a^{\prime}=1$
$0.15$$0.15$$0.15$$0.85$
$a=1$
$a^{\prime}=0$
$0.15$$0.15$$0.15$$0.85$
$a=1$
$a^{\prime}=1$
$0.85$$0.85$$0.85$$0.15$

我们应该如何利用这个表格呢?我们回到上面对 $\mathcal { C } _ { a x a ^ { \prime } x ^ { \prime } }$ 的定义,前面的一项,如果我们将其展开为:

$$\delta _ { a } ^ { 0 } \delta _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } \delta _ { x } ^ { 0 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 0 } + a _ { a } ^ { 0 } \delta _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } \delta _ { x } ^ { 1 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 0 } + a _ { a } ^ { 0 } \delta _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } \delta _ { x } ^ { 0 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 1 } – a _ { a } ^ { 0 } \delta _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } \delta _ { x } ^ { 1 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 1 } $$

表示着输入分别为 $xx^{\prime} = 00,01,10,11$ 四种情况下,测量结果都为 $aa^{\prime} = 00$ 的情况,这代表着符合计数的情况(中的一种,即$|00\rangle$)。后面两项展开来之后为:

$$\delta _ { x } ^ { 0 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 0 } \delta _ { a } ^ { 0 } + \delta _ { x } ^ { 0 } \delta _ { x ^ { \prime } } ^ { 0 } \delta _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 }$$

表示在输入为$xx^{\prime}=00$的时候,产生不符合计数的情况。但是根据参考文献 [CHSH74],可以知道这为常数,因而可以使得 $\mathcal{C}(P)$ 处在 $[0,1]$ 的范围内(对于经典的情况)。我们不妨来算算:

对于前一项表示的情况,并根据上面的表格,可以得出其概率为 $3 \times 0.85 -0.15=2.4$;后一项等于 $2\times(0.85+0.15)=2.0$,因而总的概率记为:

$$\mathcal{C}(P) = -2.4+2.0 = -0.4$$

因而打破了贝尔不等式的范围$[0,1]$,因而这是一个非经典的概率分布。另外对于这样的“CHSH tree”,其结果的最小值(最大违背)等于$-0.5$。在完成了这个例子之后,我们来看看 Connector 到底是怎么体现的。事实上我们这里本来是提供了一个 $2 \rightarrow 1$ 的 connector,容易理解,对于一个 two-partite 的系统 $P$,测量基的输入应当有两个,测量结果也会得到两个,现在我们使用一个 connector 对其进行粗粒化,这样以来,对于这个系统我们只要求输入一个测量基,并且只得到一个输出结果。接着,如下图所示,我们只考虑这样的情况:

即 $y=0, b=0$ 的情况,即粗粒化后,测量基输入 $0$,测量结果得到 $0$ 的情况,我们得到的应该是一个概率值,但应该如何理解它小于 $0$ 呢?小于零的话从实用的角度讲应当如何测量?输入$y=0$ 和输出 $b=0$ 又代表了什么含义呢?对于这些问题我们逐一回答。

经典的盒子

最开始读文章的时候,读文中的术语表述没有分清,因此有一点误解,在这里说明一下。文中所说的 “盒子(box)” 特指变换,即上面的 $C$。而测量的对象,即量子态和测量操作是用 “概率分布(probability distribution)”,即 P 来表示的。

这里需要逐一的问题是,一个盒子 $P$ 是量子态和测量操作的集合,而量子态可能是非局域的,而测量操作可能是非对易的。

我们在明确了研究对象,即为“经典盒子”之后,我们来看看这个盒子到底扮演的什么样的角色。前面介绍的 CHSH 不等式的盒子中,我们考虑一种特殊情况,即 $y=0, b=0$,我们这里进行简单的总结。我们对上面使用 Delta 算子的操作进行简化,写成函数形式:

$$f \left( a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 0 } ^ { \prime } , a _ { 1 } ^ { \prime } \right) = – \bar { a } _ { 0 } \bar { a } _ { 0 } ^ { \prime } – \bar { a } _ { 1 } \bar { a } _ { 0 } ^ { \prime } – \bar { a } _ { 0 } \bar { a } _ { 1 } ^ { \prime } + \bar { a } _ { 1 } \bar { a } _ { 1 } ^ { \prime } + \bar { a } _ { 0 } + \bar { a } _ { 0 } ^ { \prime }$$

其中 $\bar{c} = 1 – c$,这相当于取了个反而已。因此我们规定:

当 $y=0$ 时,

  • 如果 $f \left( a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 0 } ^ { \prime } , a _ { 1 } ^ { \prime } \right) = 1$,则 $b = 0$
  • 如果 $f \left( a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 0 } ^ { \prime } , a _ { 1 } ^ { \prime } \right) = 0$,则 $b = 1$

很明确,我们可以在盒子 $C$ 中增加一对测量设备来获取 $a$ 和 $a^{\prime}$ 的值,然后经过简单的计算,作为 $b$ 的值返回回去。

而当 $y=1$ 时,我们仅需定义一个类似 $y$ 的函数:

$$g \left( a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 0 } ^ { \prime } , a _ { 1 } ^ { \prime } \right) = \bar { a } _ { 0 } \bar { a } _ { 0 } ^ { \prime } – \bar { a } _ { 1 } \bar { a } _ { 0 } ^ { \prime } – \bar { a } _ { 0 } \bar { a } _ { 1 } ^ { \prime } – \bar { a } _ { 1 } \bar { a } _ { 1 } ^ { \prime } + \bar { a } _ { 1 } + \bar { a } _ { 1 } ^ { \prime }$$

并规定:

  • 如果 $g \left( a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 0 } ^ { \prime } , a _ { 1 } ^ { \prime } \right) = 1$,则 $b = 0$
  • 如果 $g \left( a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 0 } ^ { \prime } , a _ { 1 } ^ { \prime } \right) = 0$,则 $b = 1$

可以看出,这里的映射关系其实是一种规定。当我们没有指定 $y,b$ 的值时,这个张量网络是一维系统,而当我们指定了 $y,b$ 后,它就变成了一个标量,即贝尔不等式测量的结果。

但上面的测量方法有一定的局限性,这种局限性恰恰因为其是一种简单的映射关系,而不存在非对易的测量操作。因为在盒子 $P$ 中,非对易的操作无法使用这种简单的映射关系进行表达。

概率值为负的情况

文中有明确说明:在任何违反 CHSH 不等式的盒子上应用变换 $C$ 都将得到返回负值的盒子。因而负值代表着盒子 $P$ 具有非局域性。

现在的问题是如何对求出某一种变换(CHSH tree)对应的最大违背的数值呢,即结果最小可能是多少?文中给出了下图中三种数的最大违背分别为 $-0.5, -1.5, -7.5$。

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