Connector tensor network (二)

上一篇汇报 http://blog.zelinmeng.com/?p=107 学习了Connector的一些基本概念。本篇汇报主要学习广义概率论的相关知识 (Generalized probability theory, GPT)。

本篇学习汇报继续学习如下文献:

[1] NAVASCUÉS, Miguel; SINGH, Sukhbinder; ACIN, Antonio. Connector tensor networks: a renormalization-type approach to quantum certification. arXiv preprint arXiv:1907.09744, 2019.

[2] Janotta, P., & Hinrichsen, H. (2014). Generalized probability theories: what determines the structure of quantum theory?. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 47(32), 323001.

广义概率论的基本概念

广义概率论主要就是使用统计物理的语言来分析量子理论的基础,这里之所以叫做广义,是因为它提供了一种统一的理论框架,而经典理论和量子理论都是这个理论中的特殊情况。其目的在于建立经典统计物理和量子信息科学之间的桥梁。

制备和测量过程

实验过程

在量子力学相关实验中,一个典型的实验设备可以由三部分组成,分别是 制备、操控、测量,如下图所示:

如上图所示,测量得到的结果是经典比特。这里需要着重理解的一点是,上图中的每一个 classical outcome 对应了一个测量设备,而如果这个测量设备能够探测到结果,则输出“1”,否则输出“0”。

现在我们假设制备过程可以产生 $L$ 种量子态,分别标记为 $l \in \{1, \cdots, L\}$。而测量设备分为 $K$ 种,分别标记为 $k \in \{1, \cdots, K\}$。而这样的一组基我们称之为一个工具箱 (toolbox)。

当我们选择工具箱中的一个态$l$和一个基$k$之后,其测量结果可以用 $\chi_{kl} \in \{0, 1\}$ 表示。经过多次重复执行之后,我们可以得到一个测量结果为 $1$ 的统计期望:

$$ p _{kl} = \langle \chi_{kl} \rangle$$

而对于所有这个工具箱中的所有制备方法和测量方法,我们可以使用“ (state)”和“结果 (effect)”的语言进行重写,他们的输出概率可以写成一个表格,例如:

其中 $\omega$ 代表一组操作等价的制备过程,可以理解为对应一个量子态;而 $e$ 为 effect,这该怎么翻译比较好呢?百度了一下:

就翻译成“结果”吧,它表示一组操作等价的测量操作,可以理解成一个测量基,其输出为一个经典比特。

上面的表格非常容易理解,其中的概率值代表“有输出结果”,即“输出1”的概率。这个表格非常有用…那么什么是操作等价呢?

操作上等价

在删除冗余项之前,我们首先来看一些基本概念。首先是操作上等价 (operationally equivalence),其含义可以分为制备和测量两个阶段来定义:

  1. 制备过程:两个量子态 $\omega_1, \omega_2$ 无法通过可行的实验进行区分,即使用任何可行的测量设备测量它们,都会得到相同的概率分布,则说明两个量子态是操作上等价的。
  2. 测量过程:两个测量结果 $e_1, e_2$,对于任意的输入量子态,其测量结果的概率分布都是一样的,则说明两个结果是操作上等价的。

这就是一种分类的方法。

去掉多余的项

前面我们介绍了“ (state)”和“结果 (effect)”的语言,也知道了上面的表格中的 $\omega$ 和 $e$ 不代表一个态,而代表的是一组操作上等价的制备方法和测量方法。那么在这里我们规定,对于一个特定的操作上等价的制备方法和测量方法的组合 $e(\omega)$,其输出“1”的概率为 $e(\omega)=p(e|\omega)$。

我们采用这种方法对制备方法和测量方法进行分类,则可以写成 $\{e_1, e_2, \cdots, e_M\}$,$\{\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_N\}$,因此不同的制备和测量操作等价类得到测量结果为“1”的概率为:

$$p_{ij}=\langle \chi_{ij} \rangle=e_i(\omega_j)$$

很明显,这时的表格已经包含了所有实验能够得到的信息,因为 effects 和 states 都被定义为了操作等价类,因此没有行或列会出现两次。

噪声实验和概率的混合

在多数情况下,实验中的噪声在所难免,这样的噪声可以理解为一种经典概率而导致混合态的产生,而在 GPT 中,则可以理解成混合的 states 和 effects。举个例子,如下图所示,

生产过程中有 $p$ 的概率产生态 $\omega_1$,$1-p$ 的概率产生态 $\omega_2$;在测量过程中有 $q$ 的概率使用 $e_1$,有$1-q$ 的概率使用 $w_2$。因而对于这个混合态而言,总的响应概率为:

我们可以定义混合 states $\omega=p\omega_1+(1-p)\omega_2$,以及混合 effects $e=qe_1+(1-q)e_2$。这样的一种混合实际上是一种粗粒化的方法,这也是比较容易理解的,毕竟这里求加权平均相当于概率的混合。

线性空间

上面我们介绍了混合态的概念,这里我们可以使用线性空间来表示量子态。具体来说,我们可以使用概率的运算方法,把前面的混合态表示为线性组合(不同于量子态的向量表示)。

当我们选取合适的线性空间之后,我们就可以在这个线性空间$V$中表示表示 states $\omega_i$,而 effects $e_j$ 则可以在 $V^*$ 中表示。

前面我们已经构造了态和结果的操作等价类 $\{\omega_1,\cdots,\omega_N\}$, $\{e_1,\cdots,e_M\}$,我们使用这些等价类做为这个线性空间的基向量,并构造任意的线性组合,例如:

$$e=\sum\limits_i \lambda_i e_i, \omega=\sum_j \mu_j \omega_j$$

其中 $\lambda_i$ 和 $\mu_j$ 为系数,这样构造出来的线性组合 $\omega$ 和 $\omega$,对应的测得“1”的概率为:

$$e(\omega)=\left[ \sum\limits_{i=1}^{M} \lambda_i e_i \right]\left[ \sum\limits_{j=1}^{N} \mu_j e_j \right]=\sum\limits_{i=1}^{M}\sum\limits_{j=1}^{N}\lambda_i\mu_j e_i(\omega_j)$$

这是很容易理解的,就不多说了而主要需要理解的点在于,对于这种线性组合而成的 states 和 effects,实际上代表着一种粗粒化,是对若干种情况的合并。

然而并非所有的线性组合都是有物理意义的,在综述中有明确指出,states 和 effects 各自的凸组合、各自的系数和为 $1$ 的线性组合才具有物理意义。

这里有一些概念需要搞清楚:

  • 混合态 (mixed states):States 的凸组合。
  • 极态 (extremal states):不能被表示为 states 的凸组合的量子态。而极态
  • 混合结果 (mixed effects):Effects 的凸组合。
  • 极结果 (extremal effects):不能被表示为 effetcs 的凸组合的量子态。

线性相关

对于上面我们反复提到的表格:

从上表我们可以看出,

$e_4=\frac{2}{3}e_1-\frac{2}{3}e_2+\frac{1}{3}e_3$

$e_5=\frac{1}{2}(e_1+e_3)$

说明表格中的列向量是线性相关的,因此我们可以删除最右侧的两列,$e_4$是$e_1,e_2,e_3$的非凸组合,而$e_5$是$e_1,e_3$的凸组合。又有,

$\omega_4=-\omega_1+\omega_2-\omega_3$

$\omega_4$ 是 $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ 的非凸组合。

因此总的来说,上面的表格可以改写成一个 $3 \times 3$表格,并且秩为3。又有行秩始终等于列秩,我们可以清楚地看到:有多少个states就需要多少个effects来进行测量并完全区分

可靠性

这里要解决的问题是真是实验中的噪声的问题,因为制备和测量过程都可能出现失败的情况,因此这里我们就来分析可靠性与概率的关系。我们对于可靠的定义如下:

  • 制备过程:一定产生确定的态。
  • 测量过程:一定能有正确的输出。即,如果对于一个系综进行测量,那么测量过程一定能够得到量子态的正确的分布。

如果当制备过程不再可靠,那制备出来的就可以被看作混态,即若有概率 $p$ 制备量子态 $\omega_1$,且有概率 $1-p$ 制备量子态 $\omega_2$。

而测量也有可能出现不可靠,即测量采用的方法可能是 $e_1$ 或 $e_2$,他们各自的概率为 $q$ 和 $1-q$。而对于这种测量方法,我们可以用下图表示:

这里的思路就是使用之前的 states 来构造这个有噪声的测量,这里一共有两个 states,其中一个由理想的 reliable effect $e$ 构成,另一个则为测量失败,如上图左所所示。因此对于一个输入态 $\omega$ 来说,其探测器响应的概率为 $qe(\omega)$。

那么我们如何用线性空间来表示测量呢?如上图右所示,其中两个点为两个 extremal effects,分别表示两个可靠的 effects,而中间的虚线代表的是线性空间 $V^*$ 中的凸集合,代表了 reliable effects。那为什么是直线呢?对于一个态 $\omega$ 而言,其要求选取 $e_1$ 和 $e_2$ 的概率综合为 $1$,而阴影部分之所以不为 reliable effects,是因为其的 reliable effects 之和不等于 1,因而会有一部分的概率导致测量失败。

单位测量和归一化

根据前面的介绍,我们可以知道,对于一个量子态 $\omega$ 来说,如果对其测量得到的响应概率为 $e(\omega) < 1$,则我们无法判断是什么原因导致其概率小于1的(是本身概率分布导致的还是量子态制备的错误)。为了探究性其原因,我们定义一种 effect 叫做 unit measurement,即单位测量,用 $u(\omega)$ 表示。实际上这可以看作是一个量子态的范数:

$\|\omega\| = u(\omega)$

之所以可以这样理解,原因在于,如果一个量子态不是被正确制备,那么我们可以理解其范数不等于1,而是小于1的,而我们能够测量得到的最大概率即为这个范数,也就是$u(\omega)$。还是看这个表格,

这个表格中的$e_3=u$是一个单位测量,因此我们看出所有的量子态 $\omega_1,\cdots,\omega_4$ 都是归一化的量子态,即都为可靠的制备过程。

同样我们也可以定义 effect 的范数,即

$\|e\|=\max\limits_{\omega\in \Omega}e(\omega)$

其代表的含义为,effect 的范数即为是的 $e$ 响应概率最大的 state 多对应的测量概率值。

Connector Tensor Network 中的 GPT

我们现在考虑一个两体系统 $S \otimes S^{\prime}$,量子子系统构成了一个空间 $H_{S\otimes S^{\prime}}=H_S \otimes H_{S^{\prime}}$。我们现在考虑如何恢复子系统 $S$ 的边缘态呢?方法为早整个系统上对 $H_{S^{\prime}}$ 做 unit effect 操作,即可得到边缘态:

$$\bar{v}_S = I_S \otimes \bar{e}_{S^{\prime}} \cdot \bar{v}_{SS^{\prime}}$$

从系统 $S$ 变化到 $S^{\prime}$ 的映射我们设为 $W$,即可以如下表示:

$$\bar{v}_{S \otimes T} \rightarrow (W \otimes I_T) \cdot \bar{v}_{S\otimes T}$$

其中,$\bar{v}_{S \otimes T} \in \mathbb{C}_{S \otimes T}$,并且 $\bar{v}_{S \otimes T}\in \mathbb{C}_{S^{\prime} \otimes T}$。对在经过变换之后的量子态 $W \bar{v}_S$ 进行单位测量,如果其得到 $1$ 的概率小于对 $\bar{v}_S$ 进行单位测量,得到 $1$ 的概率,即:

$$u(W \bar{v}_S) \le u(\bar{v}_S)$$

则当系统 $S^{\prime}$ 的输出为1维,则这个变换 $W$ 等于一个向量,我们可以记为 $\vec{w}$,即为一个 effect

因此,从这里可以看出来,GPT的理论可以直接用于 Connector Tensor Network 中,并且 CTN 可以看作是 GPT 的一种推广,因为这里的变换 $W$ 甚至可以不是一个向量,而是一个任意形状的矩阵。

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