CHSH 不等式的学习

CHSH 不等式一直都有接触,这个主要式为了度量纠缠。CHSH不等式的破坏意味着两个相距较远的粒子间有非局域性关联。但对于其具体推导并没有具体探讨,这里给出详细的推导过程。

一个小游戏

CHSH 要从一个小游戏说起,游戏规则如下,游戏参与方为Alice和Bob,他们分别会收到一个输入$x,y \in \{0,1\}$,随后会分别给出一个输出$a,b \in \{0,1\}$,他们在收到随机数前可以进行约定,但在之后就不能再进行通讯了。而Alice和Bob的目标是共同取得游戏胜利,而胜利的条件是:

  • 当$x=y=1$时,$a \ne b$
  • 否则,$a=b$

即只要满足$xy=a\oplus b$,即Alice和Bob获得胜利。所有可能的输入与输出的情况如下所示:

由于输入$x,y$是随机数,因此双方要希望获胜的概率比瞎猜获胜的概率$50\%$大,就需要提前进行约定,但问题是怎么约定才能使得获胜概率最大呢?

经典解法

遵循如下约定,即刻达到最大获胜概率:

  • $x=0$时,$a=0$
  • $x=1$时,$a=1$
  • $y=0$时,$b=0$
  • $y=1$时,$b=0$

如图所示:

很明显,Alice和Bob有75%的概率赢得比赛。这种方法是Alice和Bob实现约定的,那有没有更好的办法呢?

量子解法

使用量子解法最主要的就是使用EPR对来完成这样任务。其方法是Alice和Bob事先共享一对EPR对,在接受到输入之后,使用输入对应的测量基对共享的EPR对进行测量,并根据测量结果进行输出。这里采用的EPR对为:

$$|\Phi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

其中一个粒子给Alice一个粒子给Bob,在他们接收到分别采用两种测量基进行测量:

其中紫色数字为测量结果所对应的输出值,黑色代表输入为0时采用的正交测量基,红色代表输入为1时采用的正交测量基。这里输入的组合一共有四种情况,$\{x,y\}\in\{\{0,0\},\{0,1\},\{1,0\},\{1,1\}\}$,那么对应的测量结果分别有哪些情况呢?我们现在来一一列举:

可以看出,对于前三种输入而言,正确的输出都有两种情况,而每种情况的Alice和Bob的测量基的夹角为$\pi/8$,因而EPR对在测量之后输出正确的概率为$\cos^2\frac{\pi}{8}$。对于第四种情况而言,也是类似的。因而总的来说成功的概率为$\cos^2\frac{\pi}{8}\approx 0.85$,较经典的情况有所提高。

CHSH不等式的推导

在经典情况下,CHSH不等式的的表达式为:

$$|E(a,b)-E(a,b^{\prime})+E(a^{\prime},b)+E(a^{\prime},b^{\prime})| \le 2$$

CHSH采用的模型与前面的游戏稍有不同,这里Alice和Bob的测量基为下图的四种情况$a=0,a^{\prime}=\pi/8,b=\pi/4,b^{\prime}=3\pi/8$,而如果测量设备一有响应为$|+\rangle$,否则为$|-\rangle$。

Alice可以选择的即为$a$和$a^{\prime}$,Bob则为$b$和$b^{\prime}$,因此对于一个Bell态,一共有四种组合,每种情况的期望值可以用如下公式表示:

$$E=\frac{N_{++}-N_{+-}-N_{-+}+N_{–}}{N_{++}+N_{+-}+N_{-+}+N_{–}}$$

其中$N$为每种测量结果的符合计数,在实际的实验中,我们可以通过实验设备进行测量,而在这里我们可以直接估计出四种$N$:

  • $E(a,b)=\frac{\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}}{\cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $E(a,b^{\prime})=\frac{\sin^2\frac{\pi}{8}-\cos^2\frac{\pi}{8}-\cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}}{\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $E(a^{\prime},b)=\frac{\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}}{\cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos2\frac{\pi}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $E(a^{\prime},b^{\prime})=\frac{\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}}{\cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos2\frac{\pi}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

总的来说,使用纠缠态可以实现的最好情况为

$$|E(a,b)-E(a,b^{\prime})+E(a^{\prime},b)+E(a^{\prime},b^{\prime})| = 2\sqrt{2}$$

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