Connector tensor network (一)

本篇学习汇报主要学习如下文献:

[1] NAVASCUÉS, Miguel; SINGH, Sukhbinder; ACIN, Antonio. Connector tensor networks: a renormalization-type approach to quantum certification. arXiv preprint arXiv:1907.09744, 2019.

盒子模型

在理解Connector之前,现在来看看最基本的盒子模型,如下图所示:

这样的盒子P代表了一个概率分布:

$$P_{a_1 \cdots a_m}^{x_1 \cdots x_m}=P(a_1, \cdots, a_m | x_1, \cdots, x_m)$$

需要特别注意的是,这里的输入$x_i$和输出$a_i$都代表着经典信息,而张量$P$代表着一个量子态,因而整个图则表示对一个量子态进行测量。而$x_i$表示的是测量的选择(可以视为测量基的选择),而$a_i$表示的是测量得到的结果。

因此上面的概率分布表示的是,对于一个态$P$,给定不同的测量方法$x_1x_2\cdots x_m$得到不同的结果$a_1a_2\cdots a_m$的概率。因而这个概率分布本质上表示的是一个量子态。

而一个 box 所代表的过程实际上可以用Bell不等式来做例子,关于贝尔不等式见http://blog.zelinmeng.com/?p=153。CHSH案例中的随机输入$x,y$ 就对应了box模型中的输入$x_1,x_2$,也就是测量基的的选择,而Alice和Bob宣布的结果就对应了盒子模型中的输出$a_1,a_2$。

因此一个最简单的盒子可以表示如下Bell测量过程:

我们对制备的量子态进行Bell测量,输入 $x_1 \in \{0,1\}$ 分别对应两种测量基$a$和$a^{\prime}$,输入 $x_2 \in \{0,1\}$ 分别对应两种测量基$b$和$b^{\prime}$。而测量结果$a_1, a_2$则为输出。对于 Bell 态 $|\Phi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$ 来说,我们可以得到如下概率分布:

Alice、Bob分别输入0和0:

$P(00|00)=P(++|ab)=P(11|00)=P( – -|ab)=\frac{1}{2}\cos^2\frac{\pi}{8}$

$P(01|00)=P(+-|ab)=P(10|00)=P( – +|ab)=\frac{1}{2}\sin^2\frac{\pi}{8}$

Alice、Bob分别输入0和1:

$P(00|01)=P(++|ab^{\prime})=P(11|01)=P( – -|ab^{\prime})=\frac{1}{2}\cos^2\frac{\pi}{8}$

$P(01|01)=P(+-|ab^{\prime})=P(10|01)=P( – +|ab^{\prime})=\frac{1}{2}\sin^2\frac{\pi}{8}$

Alice、Bob分别输入1和0:

$P(00|10)=P(++|a^{\prime}b)=P(11|10)=P( – -|a^{\prime}b)=\frac{1}{2}\cos^2\frac{\pi}{8}$

$P(01|10)=P(+-|a^{\prime}b)=P(10|10)=P( – +|a^{\prime}b)=\frac{1}{2}\sin^2\frac{\pi}{8}$

Alice、Bob分别输入1和1:

$P(00|11)=P(++|a^{\prime}b^{\prime})=P(11|11)=P( – -|a^{\prime}b^{\prime})=\frac{1}{2}\sin^2\frac{\pi}{8}$

$P(01|11)=P(+-|a^{\prime}b^{\prime})=P(10|11)=P( – +|a^{\prime}b^{\prime})=\frac{1}{2}\cos^2\frac{\pi}{8}$

总的概率可以用下表表示:

上面的这个模型对应的盒子可以表示为:

Non-signalling box

接下来我们看看一些特殊的盒子模型,首先是non-signalling。这里说的条件是$a_k$边缘概率分布

$$\sum_{a_k}P_{a_1 \cdots a_m}^{x_1 \cdots x_m}$$

与对应的输入$x_k$无关。这是个什么意思?首先,边缘概率分布即为某一个输出指标$a_k$的分布与其对应的输入$x_k$之间的关系,而无关说明了什么呢?

我们可以看上一节CHSH的概率分布,其$a_1$的边缘概率与$a_2$的边缘概率都各自与$x_1$和$x_2$无关:

因此上面的测量为一个 non-signalling box,其实要理解其含义很好理解,即测量过程中,参与方没有相互通信,即满足Bell不等式验证的条件!我们在这里把之前的Bell测量画成电路图:

可以看出,在测量基阶段,两个量子比特之间没有通讯,也没有任何纠缠操作,即满足 non-signalling 条件。我们设想一下,在Bell测试中,如果Alice和Bob在得到输入$x$和$y$后,如果他们还进行经典通信,则完全可以达到$100%$的胜利概率,超过单纯利用量子纠缠来进行CHSH的概率,因而 non-signalling 也就保证了测量仅仅依赖于纠缠态。

那么现在需要深入理解的问题为,双方通讯和边缘的关系,为什么双方不进行通信,条件概率就与输入(测量基的选择)无关呢?我们接着思考,由于量子态本身有自身的概率分布,我们应当更准确地得到这个概率分布,而如果选择不同的测量基(对应不同的测量基),就会得到不同的边缘概率分布,那说明没有一个统一的标准来的衡量纠缠特性。

Bell local box

Bell local 的定义为前面的概率分布$P(a_1\cdots a_m|x_1\cdots x_m)$可以被分解为:

$$P(a_1\cdots a_m|x_1\cdots x_m)=\sum\limits_{\lambda}p_{\lambda}P_1(a_1|x_1,\lambda)\cdots P_1(a_m|x_m,\lambda)$$

对应的图像如下:

单独看里面的一项$P_j(a_j|x_j,\lambda)$,代表第$j$个因素,当输入为$x_j$是时,其得到特定输出的概率,

这表示,某一个输出$a_k$可以由对应的输入$x_k$完全决定,而与其它输入(选择测量基)无关。这个概率分布 $P_j(a_j|x_j,\lambda)$,是由量子态和测量基共同决定的,而这里注重的问题是量子态的分解,因此总的概率分布能分解成独立的概率分布的乘积,说明这粒子之间没有关联,即这个量子态为 Bell local 的。也称之为classical box。

**这里应当注意与 non-signalling 的区别** Non-signalling指的是Bell测试时,测量设备之间相互独立没有经典通讯,因而$a_k$的边缘概率分布与输入$x_k$无关,而仅仅与量子态有关。Bell local 指的是量子态的局域性,即量子态没有纠缠存在。

接下来需要理解的是这里的 $\lambda$ 表达了什么样的物理含义?由于不同的$\lambda$ 对应了不同的概率分布,因此可以考虑,不同的$\lambda$表示了不同的纯态。

LOC-World

LOC-world 是一个有若干可能的输入和输出的多体盒子,而这样的盒子可以你用如下方式表达:

$$[O_1,\cdots,O_m,I_1,\cdots,I_m]$$

里面的每个分量表示响应的输出和输入的个数,前面的 Bell test 的粒子可以表示成 $[2,2,2,2]$。我们定义 LOC-World 的范数为:

$$E(P)=\sum\limits_{a_1,\cdots,a_m}P_{a_1\cdots a_m}^{0\cdots 0}$$

其对应的情况之和为$1$,如下图所示:

这个有什么含义呢?其实就是一个输入对应的所有概率的总和,如果这是一个normal的box,那么这个数就等于1。

简化的盒子模型

论文中提出,可以使用简化的方式来表述盒子,即将输入和输出$x_k,a_k$替换成$y_k$:

这样有什么意义,又有什么好处呢?根据之前的描述,这里的$y_k$包含了$x_k$和$a_k$,因此我认为$y_k$实际上表示了一个组合,即$y_k=(a_k,x_k)$,表示所有输入和输出的情况的组合,事实上,这只是一种简化表达,每一个$y_k$含有两个indices。

Connector $W$

线性变换 $W$,即 connector 在这里扮演了重要的角色。它是本文的主角,即用来粗粒化降维。设一个量子态为 $P$,我们将映射 $W$ 作用到 $P$ 上,则有:

$$P^{\prime} = (W \otimes I) P$$

假设,连接子是从$m \rightarrow q$的映射,则表征系统类型的向量将会变为从$[O_1,\cdots,O_m,I_1,\cdots,I_m]$变为$[O_1,\cdots,O_q,I_1,\cdots,I_q]$,而这样的$m \rightarrow q$的映射可以表示成一个矩阵:

$$W^{y^{\prime}_1 \cdots y^{\prime}_q}_{y_1 \cdots y_m}$$

其对应的图像如下:

很容易理解,经过这样的映射之后,量子态的范数有可能减小:

$$E(P^{\prime}) \le E(P)$$

将$W$ 作用在量子态上可以如下表示:

上面的这种操作,实际上可以看作是缩并,无非就是矩阵乘法,而$W$是比$P$更高阶的张量,就类似于矩阵乘以向量一样:

$$P^{\prime}_{y^{\prime}_1,\cdots,y^{\prime}_q,y_{m+1},\cdots,y_{m+r}}=\sum\limits_{y_1\cdots y_m} W^{y_1^{\prime}\cdots y_q^{\prime}}_{y_1\cdots y_m}P_{y_1\cdots y_{m+r}}$$

这个式子很容易理解,就不多解释了。这里来看一个简单的例子,并进行详细理解。下图是一个对量子态P进行粗粒化的过程,其中$W_1,\cdots,W_8$为八个connectors,而最后形成了一个$[1,1]$的态,因为$W_8$上面不再有开放的index了:

上面的这个例子最终输出的是一个标量,我们计为$W(P)$,我们可以通过这个值判断量子态$P$是否为非局域的,即是否属于 LOC-World:

  • 当 $W(P)<0$ 或 $W(P)>1$,量子态 $P$ 为非局域的。
  • 当 $0 \ge W(P) \le 1$,量子态 $P$ 为局域的。

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